Las potencias son una forma corta de escribir multiplicaciones repetidas, y las raíces son su operación inversa. En esta guía aprenderás a calcularlas, a usar sus propiedades para simplificar expresiones, a trabajar con exponentes cero y negativos, y a simplificar raíces como √72.
Esta es la entrada del nivel 11 de la serie Matemáticas de 0 a 100, la última del bloque de aritmética. Necesitarás la regla de los signos, la jerarquía de operaciones y la factorización en primos.
¿Qué es una potencia?
Una potencia es una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Se escribe con una base y un exponente:
- Base: el número que se multiplica (2).
- Exponente: cuántas veces se multiplica (5).
- 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Se lee «dos elevado a cinco» o «dos a la quinta».
Dos potencias tienen nombre propio porque vienen de la geometría: al cuadrado (exponente 2), como el área de un cuadrado de lado a, que es a²; y al cubo (exponente 3), como el volumen de un cubo, a³.
2⁵ no es 2 × 5. 2 × 5 = 10, pero 2⁵ = 32. El exponente indica multiplicaciones repetidas, no una sola.
Potencias de 10
Son las más fáciles: el exponente indica cuántos ceros lleva. 10² = 100, 10³ = 1 000 y 10⁶ = 1 000 000 (un millón). Por eso se usan en la notación científica para escribir números muy grandes, como la distancia de la Tierra al Sol: unos 1.5 × 10⁸ km.
Potencias con base negativa
Aplica la regla de los signos: un número negativo elevado a un exponente par da positivo, y a un exponente impar da negativo.
- (−2)⁴ = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16
- (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = −8
- Ojo con los paréntesis: −2⁴ = −(2⁴) = −16, porque el exponente solo afecta al 2.
Propiedades de las potencias
Estas reglas permiten simplificar expresiones sin hacer todas las multiplicaciones. Todas salen de la definición: basta con escribir los factores y contarlos.
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | am · an = am+n | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente de igual base | am ÷ an = am−n | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| Potencia de una potencia | (am)n = am·n | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potencia de un producto | (a · b)n = an · bn | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1 000 |
| Exponente cero | a⁰ = 1 (si a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Exponente negativo | a−n = 1/an | 2⁻³ = 1/8 |
¿Por qué cualquier número elevado a 0 es 1?
Por la regla del cociente: 5³ ÷ 5³ = 53−3 = 5⁰. Pero cualquier número dividido entre sí mismo da 1. Por tanto, 5⁰ = 1. Del mismo modo, 2³ ÷ 2⁵ = 2⁻², y como 8 ÷ 32 = 1/4, resulta que 2⁻² = 1/2² = ¼.
Las propiedades no valen para la suma. 2³ + 2⁴ no es 2⁷: es 8 + 16 = 24. Y (a + b)² no es a² + b²: (2 + 3)² = 25, mientras que 2² + 3² = 13.
¿Qué es una raíz?
La raíz deshace una potencia. La raíz cuadrada de un número es el número que, multiplicado por sí mismo, lo da: √25 = 5 porque 5² = 25. La raíz cúbica busca el número que, elevado al cubo, lo da: ∛8 = 2 porque 2³ = 8.
- En ⁿ√a, el número n es el índice y a es el radicando. Si no se escribe el índice, es 2.
- Los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
- Los cubos perfectos tienen raíz cúbica exacta: 1, 8, 27, 64, 125, 216…
Raíces y números negativos
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa (5² = 25 y también (−5)² = 25). El símbolo √ indica siempre la positiva: √25 = 5. En cambio, √−25 no existe en los números reales, porque ningún número real multiplicado por sí mismo da negativo. Las raíces cúbicas de negativos sí existen: ∛−8 = −2.
Raíces que no son exactas
√2 = 1.41421356… no termina nunca ni se repite: es un número irracional. Para estimar una raíz, busca los cuadrados perfectos más cercanos: como 49 < 50 < 64, √50 está entre 7 y 8, muy cerca de 7 (√50 ≈ 7.07).
Cómo simplificar una raíz
Si el radicando tiene un factor que es cuadrado perfecto, puedes sacarlo fuera de la raíz usando que √(a · b) = √a · √b:
- Descompón el radicando buscando un cuadrado perfecto: 72 = 36 · 2.
- Separa la raíz: √72 = √36 · √2.
- Calcula la raíz exacta: √72 = 6√2.
Otros ejemplos: √50 = √(25 · 2) = 5√2 y √12 = √(4 · 3) = 2√3. Si no ves el cuadrado perfecto, factoriza en primos y agrupa los factores de dos en dos: 72 = 2³ · 3² = (2 · 3)² · 2.
Las raíces también son potencias. Una raíz se puede escribir con exponente fraccionario: √a = a1/2 y ∛a = a1/3. Lo verás con detalle en el álgebra.
Potencias y raíces en la jerarquía de operaciones
Las potencias y las raíces se resuelven después de los paréntesis y antes que las multiplicaciones y divisiones:
- 3 + 2 · 4² = 3 + 2 · 16 = 3 + 32 = 35
- (3 + 2)² − √49 = 25 − 7 = 18
Errores frecuentes
- Multiplicar la base por el exponente: 3⁴ es 81, no 12.
- Multiplicar las bases al multiplicar potencias: 2³ · 2⁴ = 2⁷, no 4⁷.
- Creer que un exponente negativo da un resultado negativo: 2⁻³ = 1/8, que es positivo.
- Repartir la raíz en una suma: √(9 + 16) = √25 = 5, no √9 + √16 = 7.
Ejercicios de práctica con soluciones
1. Calcula 3⁴
3 · 3 · 3 · 3 = 81.
2. Calcula (−3)³ y −3²
(−3)³ = −27 y −3² = −(3²) = −9.
3. Simplifica 4⁵ · 4³ ÷ 4⁶
45+3−6 = 4² = 16.
4. Simplifica (2³)⁴
23·4 = 2¹² = 4 096.
5. Calcula 9⁰ + 5⁻²
1 + 1/25 = 26/25 = 1.04.
6. Calcula √144 y ∛125
√144 = 12 y ∛125 = 5.
7. ¿Entre qué dos enteros está √90?
81 < 90 < 100, así que está entre 9 y 10 (≈ 9.49).
8. Simplifica √48
√(16 · 3) = 4√3.
9. Calcula 2 · 3² + √81 ÷ 3
2 · 9 + 9 ÷ 3 = 18 + 3 = 21.
10. Un terreno cuadrado tiene 196 m² de área. ¿Cuánto mide su lado?
√196 = 14 m.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto es 0⁰?
Es un caso especial. En aritmética y álgebra se suele tomar 0⁰ = 1 por convenio, pero en cálculo se considera una forma indeterminada. Por eso la regla a⁰ = 1 se enuncia para a ≠ 0.
¿Cuál es la diferencia entre potencia y exponente?
El exponente es el número pequeño de arriba. La potencia es la expresión completa (base y exponente) o su resultado: en 2⁵ = 32, el exponente es 5 y la potencia es 32.
¿La raíz de 4 es 2 o −2?
Las dos elevadas al cuadrado dan 4, pero el símbolo √4 indica solo la raíz positiva: √4 = 2. Si quieres las dos, se escribe ±√4 = ±2.
Siguiente paso
¡Has completado la aritmética! El paso 2 de la ruta es el álgebra, donde usarás letras para generalizar todo lo que has aprendido y resolver ecuaciones.
Ver la ruta de aprendizajeFuentes y referencias
- Marecek, L., Anthony-Smith, M. y Honeycutt Mathis, A. (2020). Prealgebra 2e, sección 10.2 «Use Multiplication Properties of Exponents». OpenStax, Rice University.
- Marecek, L. et al. (2020). Prealgebra 2e, sección 10.5 «Integer Exponents and Scientific Notation». OpenStax.
- Marecek, L. et al. (2020). Prealgebra 2e, sección 5.7 «Simplify and Use Square Roots». OpenStax.
- Wikipedia. Exponentiation.
- Wikipedia. nth root.
