¿Se pueden repartir 84 caramelos entre 6 niños sin que sobre ninguno? ¿Es 2 346 divisible por 3? Para responder sin calculadora necesitas la divisibilidad: los múltiplos, los divisores y los criterios que te dicen al instante si una división es exacta.
Esta es la entrada del nivel 4 de la serie Matemáticas de 0 a 100. Vas a usar lo que aprendiste en la guía de matemáticas básicas sobre la división y su resto.
¿Qué significa que un número sea divisible por otro?
Un número a es divisible por otro número b cuando la división a ÷ b es exacta, es decir, cuando el resto es 0. Dicho de otra forma: a se puede escribir como b multiplicado por un número entero.
- 24 es divisible por 6 porque 24 ÷ 6 = 4, con resto 0 (24 = 6 × 4).
- 25 no es divisible por 6 porque 25 ÷ 6 = 4, con resto 1.
En matemáticas se escribe 6 | 24, que se lee «6 divide a 24». Esta misma relación se puede contar de dos maneras: 24 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 24.
Múltiplos de un número
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3, 4… Por ejemplo, los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36… Tres propiedades importantes:
- Todo número tiene infinitos múltiplos: la lista nunca se acaba.
- Todo número es múltiplo de sí mismo (6 = 6 × 1) y de 1.
- El 0 es múltiplo de cualquier número, porque 0 = 6 × 0.
Divisores de un número
Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente. A diferencia de los múltiplos, los divisores son una lista finita. El 1 y el propio número siempre son divisores.
Cómo encontrar todos los divisores: el método de las parejas
Busca parejas de números que, multiplicados, den el número. Empieza por 1 y sube de uno en uno. Cuando las parejas empiecen a repetirse (o llegues a la raíz cuadrada), ya tienes todos.
Para 36: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. El 5 no sirve (36 ÷ 5 da resto 1). Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Truco para ahorrar tiempo: solo necesitas probar hasta la raíz cuadrada del número. Para 84, como √84 ≈ 9.2, basta probar del 1 al 9: 1 × 84, 2 × 42, 3 × 28, 4 × 21, 6 × 14 y 7 × 12. Así, 84 tiene 12 divisores.
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas rápidas para saber si un número es divisible por otro sin hacer la división. Estos son los más útiles:
| Divisible por | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | Termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8) | 358 ✓ · 357 ✗ |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 471 → 4 + 7 + 1 = 12 ✓ |
| 4 | Sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 1 316 → 16 ✓ |
| 5 | Termina en 0 o en 5 | 845 ✓ |
| 6 | Es divisible por 2 y por 3 | 114 ✓ (par y 1 + 1 + 4 = 6) |
| 8 | Sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 | 5 120 → 120 = 8 × 15 ✓ |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 729 → 7 + 2 + 9 = 18 ✓ |
| 10 | Termina en 0 | 2 380 ✓ |
| 11 | La suma alternada de sus cifras (+ − + − …) es múltiplo de 11 (incluido el 0) | 2 728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11 ✓ |
| 25 | Termina en 00, 25, 50 o 75 | 1 375 ✓ |
¿Por qué funciona el criterio del 3?
Fíjate en 471. Podemos escribirlo así: 471 = 4 × 100 + 7 × 10 + 1. Como 100 = 99 + 1 y 10 = 9 + 1:
471 = (4 × 99 + 7 × 9) + (4 + 7 + 1)
La primera parte siempre es múltiplo de 9 (y por tanto de 3). Así que todo depende de la segunda parte: la suma de las cifras. Si esa suma es múltiplo de 3, el número también lo es. El mismo razonamiento explica el criterio del 9.
Propiedades útiles de la divisibilidad
- Si un número divide a otros dos, divide a su suma y a su resta. Como 7 | 21 y 7 | 35, entonces 7 | 56 y 7 | 14.
- Es transitiva: si 3 | 6 y 6 | 24, entonces 3 | 24.
- Todo número divisible por 6 lo es por 2 y por 3, y en general, si un número es divisible por a también lo es por todos los divisores de a.
- El 1 divide a todos los números y todo número distinto de 0 se divide a sí mismo.
Errores frecuentes
- Confundir múltiplo con divisor. 24 es múltiplo de 6, no divisor. El divisor es el «pequeño» y el múltiplo, el «grande».
- Aplicar el criterio del 4 con la última cifra. En el 4 se miran las dos últimas cifras: 1 314 termina en 4, pero 14 no es múltiplo de 4, así que 1 314 no es divisible por 4.
- Pensar que el criterio del 6 es «termina en 6». 16 termina en 6 y no es divisible por 6. Hay que comprobar el 2 y el 3.
- Olvidar que el 0 es múltiplo de todos.
Problemas de la vida real
1. Reparto. ¿Se pueden repartir 84 caramelos entre 6 niños sin que sobre ninguno? 84 es par y 8 + 4 = 12 es múltiplo de 3, así que es divisible por 6: cada niño recibe 14.
2. Filas iguales. Un profesor quiere colocar a 48 alumnos en filas iguales, con más de un alumno por fila y más de una fila. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Los divisores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. Quitando 1 y 48, hay 8 formas.
3. Cifra que falta. ¿Qué cifra puede ir en 4_2 para que el número sea divisible por 3? Necesitamos que 4 + _ + 2 sea múltiplo de 3: la cifra puede ser 0, 3, 6 o 9 (402, 432, 462, 492).
Ejercicios de práctica con soluciones
1. ¿Es 6 divisor de 78?
Sí: 78 es par y 7 + 8 = 15 es múltiplo de 3. 78 ÷ 6 = 13.
2. Escribe los cinco primeros múltiplos de 7
7, 14, 21, 28 y 35.
3. Halla todos los divisores de 30
Parejas: 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10, 5 × 6. Divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
4. ¿Es 2 346 divisible por 3? ¿Y por 9?
2 + 3 + 4 + 6 = 15. Es múltiplo de 3 pero no de 9: divisible por 3 sí, por 9 no.
5. ¿Es 7 128 divisible por 8?
Tres últimas cifras: 128 = 8 × 16. Sí.
6. ¿Es 3 564 divisible por 11?
3 − 5 + 6 − 4 = 0, que es múltiplo de 11. Sí (3 564 = 11 × 324).
7. ¿Por cuáles de 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 es divisible 540?
Por todos: es par, termina en 0, 40 es múltiplo de 4 y 5 + 4 + 0 = 9.
8. ¿Verdadero o falso? Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3
Verdadero: si 6 | a y 3 | 6, entonces 3 | a.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre múltiplo y divisor?
Si 6 × 4 = 24, entonces 24 es múltiplo de 6 (se obtiene multiplicando) y 6 es divisor de 24 (lo divide sin resto).
¿El 0 es divisor de algún número?
No. Dividir entre 0 no está definido, así que el 0 no es divisor de ningún número. En cambio, sí es múltiplo de todos.
¿Un número puede tener infinitos divisores?
No. Los divisores de un número positivo nunca son mayores que él, así que siempre son una lista finita. Los múltiplos, en cambio, son infinitos.
¿Para qué sirven los criterios de divisibilidad?
Para simplificar fracciones, descomponer números en factores primos y calcular el MCD y el mcm de forma rápida, que son los temas de las siguientes lecciones.
Siguiente paso
Con la divisibilidad dominada, el siguiente nivel son los números primos y la descomposición en factores. Consulta en la ruta qué lección viene después y cuándo se publica.
Ver la ruta de aprendizajeFuentes y referencias
- Marecek, L., Anthony-Smith, M. y Honeycutt Mathis, A. (2020). Prealgebra 2e, sección 2.4: «Find Multiples and Factors». OpenStax, Rice University.
- Wikipedia. Divisibility rule.
- Khan Academy en español. Aritmética.
