El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) aparecen en cuanto tienes que repartir cosas en grupos iguales, cortar piezas sin desperdiciar material o saber cuándo vuelven a coincidir dos sucesos. En esta guía aprenderás tres métodos para calcularlos y, lo más importante, a reconocer cuál necesitas en cada problema.
Esta es la entrada del nivel 6 de la serie Matemáticas de 0 a 100. Usa todo lo que vimos en divisibilidad y en números primos y factorización.
¿Qué son el MCD y el mcm?
- El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Se escribe MCD(12, 18).
- El mínimo común múltiplo es el menor número (distinto de 0) que es múltiplo de todos ellos. Se escribe mcm(12, 18).
Para 12 y 18: el MCD es 6 y el mcm es 36. Veamos cómo se llega a esos resultados.
Método 1: listas de divisores y múltiplos
Es el más intuitivo y funciona bien con números pequeños.
- MCD: divisores de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18 → 1, 2, 3, 6, 9, 18. Comunes: 1, 2, 3, 6. El mayor es 6.
- mcm: múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48… Múltiplos de 18 → 18, 36, 54… El primero común es 36.
Método 2: descomposición en factores primos
Es el método más usado en el colegio y funciona con cualquier cantidad de números.
- Factoriza cada número: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3².
- MCD: multiplica los factores comunes elevados al menor exponente → 2¹ · 3¹ = 6.
- mcm: multiplica todos los factores (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente → 2² · 3² = 36.
Con tres números funciona igual. Para 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² y 60 = 2² · 3 · 5:
- MCD = 2² · 3 = 12 (el 5 no es común a los tres).
- mcm = 2³ · 3² · 5 = 360.
Método 3: el algoritmo de Euclides
Para números grandes, factorizar puede ser lento. Euclides describió en sus Elementos un método que solo necesita divisiones: divide el mayor entre el menor; luego divide el divisor entre el resto, y repite hasta que el resto sea 0. El último resto distinto de 0 es el MCD.
Truco: el mcm a partir del MCD
Para dos números siempre se cumple: MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b. Así que, una vez tienes el MCD, el mcm sale con una división:
mcm(252, 198) = (252 × 198) ÷ 18 = 49 896 ÷ 18 = 2 772
Números coprimos. Si el MCD de dos números es 1, se llaman coprimos o primos entre sí (aunque ellos no sean primos). Por ejemplo, 8 y 15 son coprimos. En ese caso, el mcm es simplemente su producto: mcm(8, 15) = 120.
¿Cuándo usar el MCD y cuándo el mcm?
Esta es la duda más habitual al resolver problemas. La clave está en lo que te piden:
Problemas resueltos
1. Ramos de flores (MCD). Una floristería tiene 48 rosas y 36 claveles y quiere hacer el mayor número de ramos iguales sin que sobre ninguna flor. MCD(48, 36) = 12 → 12 ramos, cada uno con 4 rosas y 3 claveles.
2. Baldosas (MCD). Un suelo mide 360 cm × 240 cm y se quiere cubrir con baldosas cuadradas lo más grandes posible, sin cortar ninguna. MCD(360, 240) = 120 → baldosas de 120 cm de lado; caben 3 × 2 = 6.
3. Autobuses (mcm). Un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18. Si acaban de coincidir, volverán a hacerlo en mcm(12, 18) = 36 minutos.
4. Medicinas (mcm). Una persona toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12. Si las toma juntas a las 8:00, volverán a coincidir dentro de mcm(8, 12) = 24 horas: a las 8:00 del día siguiente.
Errores frecuentes
- Intercambiar las reglas de los exponentes: en el MCD se usa el menor exponente y solo los factores comunes; en el mcm, el mayor y todos los factores.
- Pensar que el MCD puede ser mayor que los números o que el mcm puede ser menor. El MCD nunca supera al menor de los números y el mcm nunca es menor que el mayor.
- Usar la fórmula MCD × mcm = a × b con tres números. Solo vale para dos.
Ejercicios de práctica con soluciones
1. MCD y mcm de 18 y 24
18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3. MCD = 2 · 3 = 6. mcm = 2³ · 3² = 72.
2. MCD y mcm de 45 y 60
45 = 3² · 5 y 60 = 2² · 3 · 5. MCD = 3 · 5 = 15. mcm = 2² · 3² · 5 = 180.
3. MCD y mcm de 84 y 126
84 = 2² · 3 · 7 y 126 = 2 · 3² · 7. MCD = 2 · 3 · 7 = 42. mcm = 2² · 3² · 7 = 252.
4. MCD(1 071, 462) con el algoritmo de Euclides
1 071 = 2 × 462 + 147; 462 = 3 × 147 + 21; 147 = 7 × 21 + 0. MCD = 21.
5. mcm de 4, 6 y 10
4 = 2², 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5 → mcm = 2² · 3 · 5 = 60.
6. ¿Son coprimos 14 y 25?
14 = 2 · 7 y 25 = 5². No comparten factores: MCD = 1. Sí son coprimos.
7. Si MCD(a, b) = 4 y a × b = 192, ¿cuánto vale el mcm?
mcm = 192 ÷ 4 = 48.
8. Listones de 120 cm y 180 cm en trozos iguales lo más largos posible
MCD(120, 180) = 60 → trozos de 60 cm; salen 2 + 3 = 5 trozos.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa MCD y mcm?
MCD es «máximo común divisor» y mcm, «mínimo común múltiplo». En inglés se llaman GCD (o GCF) y LCM.
¿El MCD puede ser 1?
Sí. Cuando dos números no comparten ningún factor primo, su MCD es 1 y se dice que son coprimos.
¿Para qué sirve el mcm en las fracciones?
Para sumar y restar fracciones con distinto denominador: el mcm de los denominadores es el denominador común más pequeño.
¿Qué método es mejor?
Con números pequeños, las listas. En la mayoría de ejercicios, la factorización. Con números grandes, el algoritmo de Euclides.
Siguiente paso
Con el MCD y el mcm ya puedes trabajar con fracciones: simplificarlas, compararlas y operar con ellas. Es el siguiente bloque de la ruta.
Ver la ruta de aprendizajeFuentes y referencias
- Marecek, L., Anthony-Smith, M. y Honeycutt Mathis, A. (2020). Prealgebra 2e, sección 2.5. OpenStax, Rice University.
- Wikipedia. Greatest common divisor.
- Wikipedia. Euclidean algorithm.
- Wikipedia. Least common multiple.
