Números primos y descomposición en factores primos

Los números primos son los «átomos» de las matemáticas: cualquier número entero mayor que 1 se construye multiplicando primos. En esta guía aprenderás a reconocerlos, a encontrarlos con la criba de Eratóstenes y a descomponer cualquier número en factores primos paso a paso.

Esta es la entrada del nivel 5 de la serie Matemáticas de 0 a 100. Para seguirla conviene repasar la lección de divisibilidad y criterios de divisibilidad.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Por ejemplo, 7 solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre 7.

Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama compuesto: tiene más de dos divisores. El 12 es compuesto porque se divide entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Datos curiosos sobre los primos:

• El 2 es el único primo par. Todos los demás pares son divisibles por 2.
• Los primos menores que 100 son 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
• Hay infinitos números primos (lo demostró Euclides hace más de 2 000 años, lo verás más abajo).

La criba de Eratóstenes

Eratóstenes de Cirene, un sabio griego del siglo III a. C., ideó un método sencillo para encontrar todos los primos hasta cierto número. Se llama criba porque «cuela» los compuestos y deja pasar solo los primos:

1. Escribe los números del 2 al 100.
2. El 2 es primo: rodéalo y tacha todos sus múltiplos (4, 6, 8…).
3. El siguiente número sin tachar, el 3, es primo: rodéalo y tacha sus múltiplos.
4. Repite con el 5 y con el 7.
5. Todos los números que queden sin tachar son primos.

¿Por qué basta con llegar al 7? Porque si un número menor que 100 fuera compuesto, tendría un divisor menor o igual que √100 = 10. Los únicos primos hasta 10 son 2, 3, 5 y 7.

Cómo saber si un número es primo

Para comprobar si un número n es primo, divídelo entre los primos menores o iguales que √n. Si ninguno lo divide, es primo.

• ¿Es 97 primo? √97 ≈ 9.8. Probamos 2, 3, 5 y 7: ninguno divide a 97. Es primo.
• ¿Es 91 primo? Parece primo, pero 91 = 7 × 13. Es compuesto. Es una de las trampas más famosas.
• ¿Es 1 001 primo? 1 001 = 7 × 11 × 13. Compuesto.

Usa los criterios de divisibilidad para ir más rápido: si termina en cifra par, en 0 o en 5, o si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, ya sabes que no es primo (salvo que sea el propio 2, 3 o 5).

Descomposición en factores primos

El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número natural mayor que 1 se puede escribir como un producto de números primos, y que esa forma es única salvo el orden de los factores. Encontrarla se llama factorizar el número.

Método de las divisiones sucesivas

Es el método más ordenado. Escribe el número, traza una línea vertical y divide una y otra vez por el primo más pequeño posible hasta llegar a 1.

Los primos de la columna derecha forman la factorización. Si un primo se repite, se agrupa con una potencia: 2 · 2 = 2².

Método del árbol de factores

También puedes partir el número en dos factores cualesquiera y seguir partiendo cada rama hasta que todas terminen en primos. Lo vimos con el 360 en la guía de matemáticas básicas: 360 = 2³ · 3² · 5. Da igual por dónde empieces; el resultado final siempre es el mismo.

Para qué sirve factorizar

• Simplificar fracciones y calcular el MCD y el mcm (próximas lecciones).
• Contar divisores: suma 1 a cada exponente y multiplica. Como 360 = 2³ · 3² · 5¹, tiene (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores.
• Seguridad en internet: el sistema de cifrado RSA, que protege muchas comunicaciones, se basa en que multiplicar dos primos enormes es fácil, pero descomponer el resultado es extremadamente difícil.

¿Por qué hay infinitos números primos?

Euclides lo demostró en sus Elementos con un razonamiento muy elegante. Supón que solo existieran unos cuantos primos y multiplícalos todos; luego súmale 1. Por ejemplo, con 2, 3, 5 y 7: 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211. Ese número no es divisible por ninguno de los primos de la lista (siempre da resto 1). Por tanto, o bien es primo, o bien tiene un factor primo que no estaba en la lista. En los dos casos aparece un primo nuevo, así que la lista nunca puede estar completa.

Ojo: el número que se obtiene no siempre es primo. 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30 031 = 59 × 509, pero 59 y 509 son primos nuevos, que es lo que importa.

Curiosidades y misterios de los primos

• El mayor primo conocido es 2^{136 279 841} − 1, con más de 41 millones de cifras. Lo encontró Luke Durant en octubre de 2024 dentro del proyecto colaborativo GIMPS.
• Primos gemelos: parejas de primos que se diferencian en 2, como 11 y 13 o 41 y 43. Nadie ha demostrado todavía si hay infinitas.
• Conjetura de Goldbach (1742): todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos (por ejemplo, 40 = 3 + 37 = 11 + 29 = 17 + 23). Se ha comprobado con ordenadores para cantidades gigantescas, pero sigue sin demostrarse.

Ejercicios de práctica con soluciones

Preguntas frecuentes

¿Por qué el 1 no es un número primo?

Porque un primo debe tener exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno. Además, si el 1 fuera primo, la factorización dejaría de ser única.

¿El 2 es primo?

Sí. Sus únicos divisores son 1 y 2. Es el único primo par.

¿Cuál es el número primo más grande?

No existe: hay infinitos primos. Lo que sí existe es el mayor primo conocido, que va cambiando a medida que se descubren otros más grandes.

¿Hay una fórmula para obtener todos los primos?

No se conoce ninguna fórmula sencilla y práctica. Su distribución es uno de los grandes misterios de las matemáticas.

Fuentes y referencias

• Marecek, L., Anthony-Smith, M. y Honeycutt Mathis, A. (2020). Prealgebra 2e, sección 2.5: «Prime Factorization and the Least Common Multiple». OpenStax, Rice University.
• Wikipedia. Sieve of Eratosthenes.
• Wikipedia. Euclid's theorem.
• Wikipedia. Largest known prime number.
• Wikipedia. Goldbach's conjecture.